1^a Questão: (2,0 pontos)

Um número n é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obtém-se
m número do qual subtrai-se n e o resultado encontrado é 54.

Determine o número n.

Cálculos e respostas: Número n : xy Temos, yx – xy = 54 x + y = 12 Logo, (10y + x) – (10x + y) = 54 Assim, x + y = 12 x + y = 12 – 9x +9y = 54 Þ – x + y = 6 2y = 18 Þ   y = 9 e x = 3 Portanto, o número n procurado é 39.

A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um
certo produto.

Determine:

1. o número de peças que torna o lucro nulo;
2. o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;
3. o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00.

Cálculos e respostas: a) Se L = 0 , x = 100 é uma das raízes. Como o máximo de L ocorre para x = 300 a outra raiz é x = 500. O lucro é nulo para 100 peças ou para 500 peças b) O lucro é negativo para 0 £ x < 100 e 500 < x £ 600 (pela simetria da parábola). c) Equação da parábola: L(x) = a (x – 100) (x – 500) = L(x) = a (x2 – 600 x + 50000) L(0) = – 1000 a = – Cálculos e respostas: L(x) = – Desejamos encontrar x de modo que – 12x + 1000 + 350 = 0   Logo, x2 – 600x + 67500 = 0 Û Assim, x = 150 peças ou x = 450 peças Devem ser vendidas 150 ou 450 peças.

Considere a seqüência (x1, x2, ... , xn, ...) tal que

e xn+1 = 0,5 xn.

Cálculos e respostas: x1 = , x2= , x3= , ... , xn+1 = xn A seq. é uma PG com 1o termo e razão Assim, xk = x1 qk–1 Logo,

Considere as funções reais f, g e h definidas por

Determine o valor de h (g (f(4))).

Cálculos e respostas: h(g(f(4))) = h = log = log = –1 log = – 1 Logo, h(g(f(4)))=–1

5^a Questão: (2,0 pontos)

A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x² + y² = 5. A reta y = – x +p
intercepta C nos pontos M e Q.

Determine:

1. o valor de p;
2. as coordenadas dos pontos M e Q.

Cálculos e respostas: y = 2x - 5 x2 + y2 = 5 Þ x2 + (2x – 5)2 = 5 x2 + 4x2 – 20x + 20 = 0 Þ 5 x2 – 20x + 20 = 0 Þ x =20/10 = 2 Û x = 2 Þ y = – 1 Logo, M (2, – 1) y = – x + p Þ – 1 = – 2 + p Þ p = 1 y = – x + 1 x2 + y2 = 5 x2 + x2 – 2x – 4 = 0 Þ x2 – x – 2 = 0 Þ 2 –1 Logo, x = –1 e y = 2. Assim, Q(–1, 2)